(M-6) Le théorème de Pythagore

Si un triangle présente des côtés de longueur (a,b,c), dont (a,b) limitent un angle de 90 degrés ("un angle droit"), alors :

a² + b² = c²

Un angle droit peut se définir comme un des 4 angles formés par le croisement de deux lignes droites lorsque ceux ci sont égaux. La réciproque du théorème est également vraie : si les longueurs des trois côtés (a,b,c) d'un triangle satisfont à la relation ci-dessus, alors l'angle limité par les côtés a et b est égal à 90 degrés.

Par exemple, un triangle dont les côtés valent a = 3, b = 4, c = 5 (pouces, pieds, mètres - n'importe) possède un angle droit, parce que

a² + b² = 3² + 4²

= 9 + 16 = 25 = c²

Pour construire des angles droits, les bâtisseurs égyptiens de l'antiquité connaissaient sans doute et utilisaient les triangles " 3.4.5 ") (avec des tiges ou des cordes étalonnées); même de nos jours, les constructeurs peuvent se servir de ces longueurs pour rectifier un coin de mur.

Les démonstrations sont nombreuses mais la plus facile est probablement celle qui est basée sur l'algèbre, en passant par les identités élémentaires discutées dans la section précédente, soit :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

15² = (10 + 5)²
   = 10² + (2)(10)(5) + 5²
   = 100 + 100 + 25    = 225
 

 

et

(a – b) ² = a² – 2ab + b²

5² = (10 – 5)²
   = 10² – (2)(10)(5) + 5²
   = 100 – 100 + 25    = 25

Il est également nécessaire de connaître quelques surfaces simples : celle d'un rectangle se calcule en multipliant la longueur par la largeur, par exemple celle de celui qui est dessiné ci dessus vaut ab. une diagonale le divise en deux triangles à angles droit dont les côtés courts sont a et b, et dont la surface est donc (1/2) ab.

Regardez maintenant le carré à gauche construit au moyen de quatre triangles (a,b,c) . La longueur de chacun de ses côtés est (a+b) et sa surface est donc de (a+b)².

Cependant, ce carré peut également être scindé en quatre triangles (a,b,c) entourant un carré de côté c (En toute rigueur, nous devrions également prouver que ses angles sont droits, mais nous l'omettrons). Comme montré plus haut la surface de chaque triangle vaut (1/2)ab, et la surface du petit carré c². La grande surface étant égale à la somme de tous ses composants, on peut écrire :

(a + b) ² = (4)(1/2)(a)(b) + c²

En remplaçant (a + b)² par son identité et (4)(1/2) par 2

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

Enlevons 2ab de chaque côtés de l'égalité et il reste :

a² + b² = c²

On peut arriver au même résultat en utilisant un autre carré, de surface c². Comme le schéma de droite le montre, cette surface peut être divisée en 4 triangles comme auparavant, plus un petit carré de côté (a-b). Nous obtenons

c² = (4)(1/2)(a)(b) + (a-b) ²

= 2ab + (a² – 2ab + b²)

= a² + b² Q.E.D.

Q.E.D. signifie "Quod Erat Demonstrandum," pour "ce qui devait être démontré," en latin : dans la géométrie traditionnelle ces lettres marquent l'aboutissement d'une preuve. Le travail de Pythagore et des maîtres suivants de la géométrie grecque (particulièrement Euclide) est important non seulement par ce qu'ils ont prouvé , mais aussi par la méthode qu'ils ont développé : Partir de quelques données de base réputées validées (les "axiomes") et en déduire par la logique leurs propriétés plus complexes (les "théorèmes"). Les mathématiques suivent toujours ce même modèle.